ЕГЭ Тригонометрия — Задание 13

Задание 13 ЕГЭ по профильной математике

Повышенный уровень | 2 балла | ~10 минут

Что это за задание?

Задание 13 — это тригонометрическое уравнение с отбором корней. Оно состоит из двух пунктов:

  • Пункт а) — решить уравнение (записать общую формулу корней)
  • Пункт б) — найти корни, принадлежащие заданному отрезку

Критерии оценивания

2 балла Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах
1 балл Обоснованно получен верный ответ в пункте а) или получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но верная последовательность всех шагов
0 баллов Решение не соответствует ни одному из критериев выше

Типичная формулировка

а) Решите уравнение \(2\sin^3 x = 2\cos 2x + 2\sin x\).

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-4\pi;\; -\dfrac{5\pi}{2}\right]\).

Демоверсия ФИПИ 2026

Что нужно знать для решения

1

Единичная окружность

Значения sin и cos для стандартных углов, радианы

2

Тригонометрические формулы

Тождества, двойной угол, сумма/разность, понижение степени

3

Методы решения

Замена, разложение на множители, однородные уравнения

4

Отбор корней

Окружность, числовая прямая, аналитический метод

Частые ошибки (из отчётов экспертов)

  • Неверный отбор корней — забывают проверить концы отрезка
  • Ошибки в периодах тригонометрических функций
  • Потеря корней при делении на \(\sin x\) или \(\cos x\) без проверки
  • Неверное применение формул двойного угла
  • Отсутствие обоснований переходов

Разбор типичных ошибок

Конкретные примеры ошибок, которые стоят баллов на экзамене:

Ошибка 1: Деление на cos x (потеря корней)
НЕПРАВИЛЬНО

\(\sin x \cdot \cos x = \cos x\)

Делим обе части на \(\cos x\):

\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\)

ПРАВИЛЬНО

\(\sin x \cdot \cos x - \cos x = 0\)

\(\cos x(\sin x - 1) = 0\)

\(\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n\)

\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\)

Потеряны корни \(\cos x = 0\)! При делении на выражение, которое может равняться нулю, теряются решения.
Ошибка 2: Неверный период (неполный ответ)
НЕПОЛНЫЙ ОТВЕТ

\(\sin x = \dfrac{1}{2}\)

\(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\)

Записана только одна серия корней!

ПРАВИЛЬНО

\(\sin x = \dfrac{1}{2}\)

\(x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}\)

Это включает две серии: \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k\)

У уравнения \(\sin x = a\) при \(0 < a < 1\) всегда две серии корней. Формула с \((-1)^n\) записывает обе серии компактно.
Ошибка 3: Забытые корни при отборе на отрезке
НЕПРАВИЛЬНО

Отрезок \([-4\pi;\; -\dfrac{5\pi}{2}]\), корни \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\)

Проверяют \(k = -3, -4\), но забывают проверить границы.

ПРАВИЛЬНО

Нужно проверить: попадает ли корень точно на границу отрезка?

\(k = -3\): \(x = -\dfrac{5\pi}{2}\) -- это правая граница, она входит! (отрезок замкнутый)

\(k = -4\): \(x = -\dfrac{7\pi}{2}\) -- попадает внутрь отрезка.

Всегда проверяйте обе границы отрезка! Квадратная скобка \([\;]\) означает, что граница включена.

Единичная окружность

Основа всей тригонометрии

Интерактивная единичная окружность

Наведите мышь или нажмите на окружность, чтобы увидеть значения sin и cos для любого угла. Нажмите на стандартный угол справа, чтобы зафиксировать его.

Угол: 0°
Радианы: 0
sin: 0
cos: 1
tg: 0

Таблица значений тригонометрических функций

Градусы Радианы sin cos tg ctg

Градусы и радианы

Формула перевода: \(\alpha_{\text{рад}} = \dfrac{\pi \cdot \alpha°}{180°}\)

↔

Знаки функций по четвертям

II четверть

\(\frac{\pi}{2} < x < \pi\)

sin > 0, cos < 0

tg < 0, ctg < 0

I четверть

\(0 < x < \frac{\pi}{2}\)

sin > 0, cos > 0

tg > 0, ctg > 0

III четверть

\(\pi < x < \frac{3\pi}{2}\)

sin < 0, cos < 0

tg > 0, ctg > 0

IV четверть

\(\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi\)

sin < 0, cos > 0

tg < 0, ctg < 0

Обратные тригонометрические функции

Таблица значений arcsin, arccos, arctg для стандартных аргументов:

\(x\) \(\arcsin x\) \(\arccos x\) \(\mathrm{arctg}\, x\)
\(-1\)\(-\dfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(-\dfrac{\pi}{4}\)
\(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(-\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{5\pi}{6}\)—
\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(-\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{3\pi}{4}\)—
\(-\dfrac{1}{2}\)\(-\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{2\pi}{3}\)—
\(0\)\(0\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(0\)
\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{\pi}{3}\)—
\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\pi}{4}\)—
\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{\pi}{6}\)—
\(1\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(0\)\(\dfrac{\pi}{4}\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)——\(\dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\)——\(\dfrac{\pi}{3}\)

Области определения и значений

\(\arcsin x\): область определения \([-1;\;1]\), множество значений \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\;\dfrac{\pi}{2}\right]\)
\(\arccos x\): область определения \([-1;\;1]\), множество значений \([0;\;\pi]\)
\(\mathrm{arctg}\, x\): область определения \((-\infty;\;+\infty)\), множество значений \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

Свойства обратных функций

\(\arcsin(-x) = -\arcsin x\)
arcsin — нечётная функция
\(\arccos(-x) = \pi - \arccos x\)
\(\mathrm{arctg}(-x) = -\mathrm{arctg}\, x\)
arctg — нечётная функция
\(\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}\)
Для любого \(x \in [-1;\;1]\)

Тренажёр: определи четверть

Определите, в какой четверти находится угол и какие знаки имеют тригонометрические функции.

Тригонометрические формулы

Все формулы для ЕГЭ

Справочные материалы на экзамене

На профильном ЕГЭ выдают только 4 формулы. Всё остальное — наизусть!

\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)

\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)

\(\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)

\(\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)

Основные тригонометрические тождества

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
Основное тригонометрическое тождество. Следствия:
\(\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha\), \(\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha\)
\(1 + \mathrm{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}\)
При \(\cos\alpha \neq 0\)
\(1 + \mathrm{ctg}^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}\)
При \(\sin\alpha \neq 0\)
\(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \quad \mathrm{ctg}\,\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)
\(\mathrm{tg}\,\alpha \cdot \mathrm{ctg}\,\alpha = 1\)

Тренажёр: проверь формулу

Проверьте, верна ли приведённая формула. Тренируйте память!

Правильно: 0 Неправильно: 0 Серия: 0

Решение тригонометрических уравнений

Методы и алгоритмы

Простейшие тригонометрические уравнения

\(\sin x = a\): \quad \(x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
при \(|a| \le 1\)
\(\cos x = a\): \quad \(x = \pm \arccos a + 2\pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
при \(|a| \le 1\)
\(\mathrm{tg}\, x = a\): \quad \(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)
\(\mathrm{ctg}\, x = a\): \quad \(x = \mathrm{arcctg}\, a + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)

Частные случаи (знать наизусть!)

УравнениеРешение
\(\sin x = 0\)\(x = \pi n\)
\(\sin x = 1\)\(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
\(\sin x = -1\)\(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
\(\cos x = 0\)\(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\)
\(\cos x = 1\)\(x = 2\pi n\)
\(\cos x = -1\)\(x = \pi + 2\pi n\)

Алгоритм решения задания 13

Пошаговая схема для любого тригонометрического уравнения:

1
Прочитай уравнение, определи тип (простейшее, квадратное, однородное, с двойным углом и т.д.)
2
Содержит \(\cos 2x\) или \(\sin 2x\)? Раскрой формулу двойного угла
3
Все выражено через одну функцию? Введи замену \(t = \sin x\) (или \(\cos x\)) и реши квадратное уравнение
4
Есть произведение \(\sin x \cdot \cos x\)? Попробуй разложить на множители (вынести общий множитель)
5
Вид \(a\sin x + b\cos x = c\)? Введение вспомогательного угла: раздели на \(\sqrt{a^2+b^2}\)
6
Реши получившееся уравнение (простейшее тригонометрическое или квадратное)
7
Запиши ответ в общем виде. Не забудь \(n \in \mathbb{Z}\)! Проверь: нет ли лишних корней (\(|t| \le 1\) для sin/cos)?
8
Пункт б): Отбери корни двойным неравенством или перебором. Не забудь проверить границы отрезка!
Метод 1

Приведение к одной функции

Используем основное тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) для замены одной функции через другую.

Пример: \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\)
Показать решение

Заменим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):

\(2(1-\cos^2 x) - \cos x - 1 = 0\)

\(-2\cos^2 x - \cos x + 1 = 0\)

\(2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0\)

Замена: \(t = \cos x\), \(|t| \le 1\)

\(2t^2 + t - 1 = 0\)

\(t_1 = \frac{1}{2}\), \(t_2 = -1\)

\(\cos x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\)

\(\cos x = -1\) ⇒ \(x = \pi + 2\pi n\)

Ответ: \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\), \(x = \pi + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Метод 2

Разложение на множители

Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель.

Пример: \(\sin 2x - \cos x = 0\)
Показать решение

Заменяем \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\):

\(2\sin x\cos x - \cos x = 0\)

Выносим \(\cos x\):

\(\cos x(2\sin x - 1) = 0\)

\(\cos x = 0\) ⇒ \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\)

\(\sin x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = (-1)^n\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}\)

Метод 3

Однородные уравнения

Уравнение вида \(a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0\) — однородное 2-й степени. Делим обе части на \(\cos^2 x\).

Пример: \(3\sin^2 x - 4\sin x\cos x + \cos^2 x = 0\)
Показать решение

Заметим, что \(\cos x = 0\) не является решением (подставим: \(3\sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0\), но тогда \(\sin^2 x + \cos^2 x = 0 \neq 1\)).

Делим на \(\cos^2 x\):

\(3\mathrm{tg}^2 x - 4\mathrm{tg}\, x + 1 = 0\)

Замена \(t = \mathrm{tg}\, x\):

\(3t^2 - 4t + 1 = 0\)

\(t_1 = 1\), \(t_2 = \frac{1}{3}\)

\(\mathrm{tg}\, x = 1\) ⇒ \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\)

\(\mathrm{tg}\, x = \frac{1}{3}\) ⇒ \(x = \mathrm{arctg}\,\frac{1}{3} + \pi n\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(x = \mathrm{arctg}\,\frac{1}{3} + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Метод 4

Использование формул двойного угла

Раскрываем \(\cos 2x\) или \(\sin 2x\) и приводим к одной функции или разлагаем на множители.

Пример: \(\cos 2x + 3\sin x - 2 = 0\)
Показать решение

Заменим \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\):

\(1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0\)

\(-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0\)

\(2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\)

Замена \(t = \sin x\): \(2t^2 - 3t + 1 = 0\)

\(t_1 = 1\), \(t_2 = \frac{1}{2}\)

\(\sin x = 1\) ⇒ \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)

\(\sin x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k\)

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(x = (-1)^k\frac{\pi}{6} + \pi k\), \(n, k \in \mathbb{Z}\)

Метод 5

Введение вспомогательного угла

Для уравнений вида \(a\sin x + b\cos x = c\). Делим на \(\sqrt{a^2+b^2}\) и получаем \(\sin(x+\varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\).

Пример: \(\sin x + \cos x = 1\)
Показать решение

Делим на \(\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\):

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n\frac{\pi}{4} + \pi n\)

\(x = (-1)^n\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi n\)

При \(n = 2m\): \(x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi m = 2\pi m\)

При \(n = 2m+1\): \(x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) = -\frac{\pi}{2} + \pi + 2\pi m = \frac{\pi}{2} + 2\pi m\)

Ответ: \(x = 2\pi n\), \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\)

Метод 6

Группировка

Группируем слагаемые попарно и выносим общие множители.

Пример: \(\sin 3x + \sin x = \sin 2x\)
Показать решение

Применяем формулу суммы синусов к левой части:

\(\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x \cos x\)

Подставляем в уравнение:

\(2\sin 2x \cos x - \sin 2x = 0\)

Выносим \(\sin 2x\):

\(\sin 2x(2\cos x - 1) = 0\)

\(\sin 2x = 0\) ⇒ \(2x = \pi n\) ⇒ \(x = \frac{\pi n}{2}\)

\(\cos x = \frac{1}{2}\) ⇒ \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)

Ответ: \(x = \frac{\pi n}{2}, \quad x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}\)

Метод 7

Показательно-тригонометрические уравнения

Уравнения, в которых тригонометрическая функция стоит в показателе степени. Встречаются на реальном ЕГЭ! Решаются заменой показательного выражения.

Общий вид: \(a^{f(x)} + a^{-f(x)} = c\), где \(f(x)\) — тригонометрическая функция.
Замена: \(t = a^{f(x)}\), \(t > 0\). Уравнение принимает вид \(t + \dfrac{1}{t} = c\), т.е. \(t^2 - ct + 1 = 0\).
Важно: после нахождения \(t\) проверить \(t > 0\), затем решить \(a^{f(x)} = t\) через логарифмирование.
Пример: \(9^{\sin x} + 9^{-\sin x} = \dfrac{10}{3}\)
Показать решение

Замена: \(t = 9^{\sin x}\), \(t > 0\). Тогда \(9^{-\sin x} = \dfrac{1}{t}\).

\(t + \dfrac{1}{t} = \dfrac{10}{3}\)

\(3t^2 - 10t + 3 = 0\)

\(t_1 = 3\), \(t_2 = \dfrac{1}{3}\). Оба > 0 — подходят.

\(9^{\sin x} = 3 = 9^{1/2} \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n\dfrac{\pi}{6} + \pi n\)

\(9^{\sin x} = \dfrac{1}{3} = 9^{-1/2} \Rightarrow \sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi n\)

Ответ: \(x = \pm\dfrac{\pi}{6} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z}\)

Пример (ЕГЭ 2017): \(3 \cdot 81^{\sin x} - 28 \cdot 9^{\sin x} + 9 = 0\)
Показать решение

\(81 = 9^2\), поэтому \(81^{\sin x} = (9^{\sin x})^2\).

Замена: \(t = 9^{\sin x}\), \(t > 0\):

\(3t^2 - 28t + 9 = 0\)

\(D = 784 - 108 = 676\)

\(t_1 = \dfrac{28+26}{6} = 9 = 9^1\), \(t_2 = \dfrac{28-26}{6} = \dfrac{1}{3} = 9^{-1/2}\)

\(\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n\)

\(\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi k\)

Ответ: \(x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n,\; x = (-1)^{k+1}\dfrac{\pi}{6} + \pi k,\; n, k \in \mathbb{Z}\)

Типичные ловушки

  • Деление на sin x или cos x — можно потерять корни! Сначала проверьте, является ли 0 корнем
  • Забыть ОДЗ — tg x не определён при \(\cos x = 0\), ctg x — при \(\sin x = 0\)
  • Неверный период — у sin и cos период \(2\pi\), у tg и ctg — \(\pi\)
  • Лишние корни при замене — проверяйте \(|t| \le 1\) для sin и cos

Отбор корней на отрезке

Пункт б) задания 13

Три метода отбора корней

Пункт б) — это то, что отличает 2 балла от 1 балла. Вот три способа найти корни на отрезке:

Способ 1

Числовая окружность

Самый наглядный и надёжный способ. Алгоритм:

  1. Нарисовать единичную окружность
  2. Отметить на ней точки, соответствующие корням уравнения
  3. Определить, какие из этих точек попадают в нужный отрезок
  4. Для отрезков с отрицательными углами — двигаться по часовой стрелке
Пример: Корни \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), отрезок \([-4\pi;\; -\frac{5\pi}{2}]\)
Показать решение

Переберём значения k:

\(k = -2\): \(x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71\) — не попадает (< -4π ≈ -12.57? Нет, -4.71 > -12.57). Попадает ли в \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\)? \(-12.57 \le -4.71\) — да, но \(-4.71 \le -7.85\)? Нет. Не попадает.

\(k = -3\): \(x = \frac{\pi}{2} - 3\pi = -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85\) — попадает!

\(k = -4\): \(x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} \approx -11.0\) — попадает!

\(k = -5\): \(x = \frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2} \approx -14.14\) — не попадает (< -4π)

Ответ: \(-\frac{7\pi}{2}\), \(-\frac{5\pi}{2}\)

Способ 2

Двойное неравенство (аналитический)

Подставляем общую формулу в неравенство и находим целые n:

\(a \le x_0 + T \cdot n \le b\)
где \(x_0\) — начальный корень, \(T\) — период, \([a; b]\) — отрезок
Пример: Корни \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\), отрезок \([-4\pi;\; -\frac{5\pi}{2}]\)
Показать решение

\(-4\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2}\)

Вычтем \(\frac{\pi}{3}\):

\(-4\pi - \frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\)

\(-\frac{13\pi}{3} \le 2\pi n \le -\frac{17\pi}{6}\)

Разделим на \(2\pi\):

\(-\frac{13}{6} \le n \le -\frac{17}{12}\)

\(-2.17 \le n \le -1.42\)

Целое \(n = -2\): \(x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}\)

Ответ: \(-\frac{11\pi}{3}\)

Способ 3

Перебор значений n

Просто подставляем \(n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\) и проверяем попадание.

Совет: Этот метод самый простой, но требует аккуратности. Не забудьте проверить достаточно значений n!

Тренажёр: отбор корней

Даны корни уравнения и отрезок. Найдите, какие корни принадлежат отрезку.

Базовые задания

Уровень 1 — Простейшие уравнения

Средний уровень

Уровень 2 — Комбинированные методы

Уровень ЕГЭ

Уровень 3 — Задания формата экзамена

Задания ФИПИ

Из демоверсий и открытого банка

Режим экзамена

Имитация реального ЕГЭ

Настройки

Шпаргалка

Все формулы на одной странице

Основное тождество

\(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)

Двойной угол

\(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\)

\(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)

Понижение степени

\(\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}\)

\(\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}\)

sin x = a

\(x = (-1)^n\arcsin a + \pi n\)

cos x = a

\(x = \pm\arccos a + 2\pi n\)

tg x = a

\(x = \mathrm{arctg}\, a + \pi n\)

Частные случаи

\(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n\)

\(\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n\)

Сумма → Произведение

\(\sin\alpha\pm\sin\beta = 2\sin/\cos\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cdot\cos/\sin\frac{\alpha\mp\beta}{2}\)

Флеш-карточки

Тренируйте память! Посмотрите на вопрос, подумайте, затем проверьте себя.

Знаю: 0 Повторить: 0 Осталось: 0
Нажмите "Начать" для запуска